Diclib.com
ChatGPT AI Dictionary

Dictionary Lookup Custom Solutions

Enter a word or phrase in any language 👆

Language:

Translation and analysis of words by ChatGPT artificial intelligence

On this page you can get a detailed analysis of a word or phrase, produced by the best artificial intelligence technology to date:

how the word is used
frequency of use
it is used more often in oral or written speech
word translation options
usage examples (several phrases with translation)
etymology

What (who) is ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ - definition

УРАВНЕНИЕ, В КОТОРОМ ЕСТЬ ПРОИЗВОДНЫЕ ОТ НЕИЗВЕСТНОЙ ФУНКЦИИ

Дифференциальные уравнения; Теория дифференциальных уравнений; Дифур; Решение дифференциального уравнения; Порядок дифференциального уравнения; Степень дифференциального уравнения; Диффур

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Многие физические законы, которым подчиняются те или иные явления, записываются в виде математического уравнения, выражающего определенную зависимость между какими-то величинами. Часто речь идет о соотношении между величинами, изменяющимися с течением времени, например экономичность двигателя, измеряемая расстоянием, которое автомашина может проехать на одном литре горючего, зависит от скорости движения автомашины. Соответствующее уравнение содержит одну или несколько функций и их производных и называется дифференциальным уравнением. (Темп изменения расстояния со временем определяется скоростью; следовательно, скорость - производная от расстояния; аналогично, ускорение - производная от скорости, так как ускорение задает темп изменения скорости со временем.) Большое значение, которое имеют дифференциальные уравнения для математики и особенно для ее приложений, объясняются тем, что к решению таких уравнений сводится исследование многих физических и технических задач. Дифференциальные уравнения играют существенную роль и в других науках, таких, как биология, экономика и электротехника; в действительности, они возникают везде, где есть необходимость количественного (числового) описания явлений (коль скоро окружающий мир изменяется во времени, а условия изменяются от одного места к другому). См. также МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
.

Примеры. Следующие примеры позволяют лучше понять, как различные задачи формулируются на языке дифференциальных уравнений.

1) Закон распада некоторых радиоактивных веществ состоит в том, что скорость распада пропорциональна наличному количеству этого вещества. Если x - количество вещества в некоторый момент времени t, то этот закон можно записать так:

где dx/dt - скорость распада, а k - некоторая положительная постоянная, характеризующая данное вещество. (Знак "минус" в правой части указывает на то, что x убывает со временем; знак "плюс", подразумеваемый всегда, когда знак явно не указан, означал бы, что x возрастает со временем.)

2) Емкость первоначально содержит 10 кг соли, растворенной в 100 м3 воды. Если чистая вода вливается в емкость со скоростью 1 м3 в минуту и равномерно перемешивается с раствором, а образовавшийся раствор вытекает из емкости с такой же скоростью, то сколько соли окажется в емкости в любой последующий момент времени. Если x - количество соли (в кг) в емкости в момент времени t, то в любой момент времени t в 1 м3 раствора в емкости содержится x/100 кг соли; поэтому количество соли убывает со скоростью x/100 кг/мин, или

3) Пусть на тело массы m, подвешенное к концу пружины, действует возвращающая сила, пропорциональная величине растяжения пружины. Пусть x - величина отклонения тела от положения равновесия. Тогда по второму закону Ньютона, который утверждает, что ускорение (вторая производная от x по времени, обозначаемая d 2x/dt 2) пропорционально силе:

Правая часть стоит со знаком минус потому, что возвращающая сила уменьшает растяжение пружины.

4) Закон охлаждения тел утверждает, что количество тепла в теле убывает пропорционально разности температур тела и окружающей среды. Если чашка кофе, разогретого до температуры 90. С находится в помещении, температура в котором равна 20. С, то

где T - температура кофе в момент времени t.

5) Министр иностранных дел государства Блефуску утверждает, что принятая Лиллипутией программа вооружений вынуждает его страну увеличить военные расходы на сколько это только возможно. С аналогичными заявлениями выступает и министр иностранных дел Лиллипутии. Возникающую в результате ситуацию (в простейшей интерпретации) можно точно описать двумя дифференциальными уравнениями. Пусть x и y - расходы на вооружение Лиллипутии и Блефуску. Предполагая, что Лиллипутия увеличивает свои расходы на вооружение со скоростью, пропорциональной скорости увеличения расходов на вооружение Блефуску, и наоборот, получаем:

где члены ?ax и ?by описывают военные расходы каждой из стран, k и l - положительные постоянные. (Эту задачу впервые таким образом сформулировал в 1939 Л.Ричардсон.)

После того, как задача записана на языке дифференциальных уравнений, следует попытаться их решить, т.е. найти величины, скорости изменения которых входят в уравнения. Иногда решения находятся в виде явных формул, но чаще их удается представить лишь в приближенном виде или же получить о них качественную информацию. Часто бывает трудно установить, существует ли решение вообще, не говоря уже о том, чтобы найти его. Важный раздел теории дифференциальных уравнений составляют так называемые "теоремы существования", в которых доказывается наличие решения у того или иного типа дифференциальных уравнений.

Первоначальная математическая формулировка физической задачи обычно содержит упрощающие предположения; критерием их разумности может служить степень согласованности математического решения с имеющимися наблюдениями.

Решения дифференциальных уравнений. Дифференциальному уравнению, например dy/dx = x/y, удовлетворяет не число, а функция, в данном конкретном случае такая, что ее график в любой точке, например в точке с координатами (2,3), имеет касательную с угловым коэффициентом, равным отношению координат (в нашем примере 2/3). В этом нетрудно убедиться, если построить большое число точек и от каждой отложить короткий отрезок с соответствующим наклоном. Решением будет функция, график которой касается каждой своей точкой соответствующего отрезка. Если точек и отрезков достаточно много, то мы можем приближенно наметить ход кривых-решений (три такие кривые показаны на рис. 1). Существует ровно одна кривая-решение, проходящая через каждую точку с y . 0. Каждое отдельное решение называется частным решением дифференциального уравнения; если удается найти формулу, содержащую все частные решения (за исключением, быть может, нескольких особых), то говорят, что получено общее решение. Частное решение представляет собой одну функцию, в то время как общее - целое их семейство. Решить дифференциальное уравнение - это значит найти либо его частное, либо общее решение. В рассматриваемом нами примере общее решение имеет вид y2 - x2 = c, где c - любое число; частное решение, проходящее через точку (1,1), имеет вид y = x и получается при c = 0; частное решение, проходящее через точку (2,1), имеет вид y2 - x2 = 3. Условие, требующее, чтобы кривая-решение проходила, например, через точку (2,1), называется начальным условием (так как задает начальную точку на кривой-решении).

Можно показать, что в примере (1) общее решение имеет вид x = ce-kt, где c - постоянная, которую можно определить, например, указав количество вещества при t = 0. Уравнение из примера (2) - частный случай уравнения из примера (1), соответствующий k = 1/100. Начальное условие x = 10 при t = 0 дает частное решение x = 10e-t/100. Уравнение из примера (4) имеет общее решение T = 70 + ce-kt и частное решение 70 + 130-kt; чтобы определить значение k, необходимы дополнительные данные.

Дифференциальное уравнение dy/dx = x/y называется уравнением первого порядка, так как содержит первую производную (порядком дифференциального уравнения принято считать порядок входящей в него самой старшей производной). У большинства (хотя и не у всех) возникающих на практике дифференциальных уравнений первого рода через каждую точку проходит только одна кривая-решение.

Существует несколько важных типов дифференциальных уравнений первого порядка, допускающих решения в виде формул, содержащих только элементарные функции - степени, экспоненты, логарифмы, синусы и косинусы и т.д. К числу таких уравнений относятся следующие.

Уравнения с разделяющимися переменными. Уравнения вида dy/dx = f(x)/g(y) можно решить, записав его в дифференциалах g(y)dy = f(x)dx и проинтегрировав обе части. В худшем случае решение представимо в виде интегралов от известных функций. Например, в случае уравнения dy/dx = x/y имеем f(x) = x, g(y) = y. Записав его в виде ydy = xdx и проинтегрировав, получим y2 = x2 + c. К уравнениям с разделяющимися переменными относятся уравнения из примеров (1), (2), (4) (их можно решить описанным выше способом).

Уравнения в полных дифференциалах. Если дифференциальное уравнение имеет вид dy/dx = M(x,y)/N(x,y), где M и N - две заданные функции, то его можно представить как M(x,y)dx - N(x,y)dy = 0. Если левая часть является дифференциалом некоторой функции F(x,y), то дифференциальное уравнение можно записать в виде dF(x,y) = 0, что эквивалентно уравнению F(x,y) = const. Таким образом, кривые-решения уравнения - это "линии постоянных уровней" функции, или геометрические места точек, удовлетворяющих уравнениям F(x,y) = c. Уравнение ydy = xdx (рис. 1) - с разделяющимися переменными, и оно же - в полных дифференциалах: чтобы убедиться в последнем, запишем его в виде ydy - xdx = 0, т.е. d(y2 - x2) = 0. Функция F(x,y) в этом случае равна (1/2)(y2 - x2); некоторые из ее линий постоянного уровня представлены на рис. 1.

Линейные уравнения. Линейные уравнения - это уравнения "первой степени" - неизвестная функция и ее производные входят в такие уравнения только в первой степени. Таким образом, линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид dy/dx + p(x) = q(x), где p(x) и q(x) - функции, зависящие только от x. Его решение всегда можно записать с помощью интегралов от известных функций. Многие другие типы дифференциальных уравнений первого порядка решаются с помощью специальных приемов.

Уравнения старших порядков. Многие дифференциальные уравнения, с которыми сталкиваются физики, это уравнения второго порядка (т.е. уравнения, содержащие вторые производные) Таково, например, уравнение простого гармонического движения из примера (3), md 2x/dt 2 = -kx. Вообще говоря, можно ожидать, что уравнение второго порядка имеет частные решения, удовлетворяющие двум условиям; например, можно потребовать, чтобы кривая-решение проходила через данную точку в данном направлении. В случаях, когда дифференциальное уравнение содержит некоторый параметр (число, величина которого зависит от обстоятельств), решения требуемого типа существуют только при определенных значениях этого параметра. Например, рассмотрим уравнение md 2x/dt 2 = -kx и потребуем, чтобы y(0) = y(1) = 0. Функция y . 0 заведомо является решением, но если - целое кратное числа ?, т.е. k = m2n2?2, где n - целое число, а в действительности только в этом случае, существуют другие решения, а именно: y = sin n?x. Значения параметра, при которых уравнение имеет особые решения, называются характеристическими или собственными значениями; они играют важную роль во многих задачах.

Уравнение простого гармонического движения служит примером важного класса уравнений, а именно: линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Более общий пример (также второго порядка) - уравнение

где a и b - заданные постоянные, f(x) - заданная функция. Такие уравнения можно решать различными способами, например, с помощью интегрального преобразования Лапласа. То же можно сказать и о линейных уравнениях более высоких порядков с постоянными коэффициентами. Не малую роль играют также и линейные уравнения с переменными коэффициентами.

Нелинейные дифференциальные уравнения. Уравнения, содержащие неизвестные функции и их производные в степени выше первой или каким-либо более сложным образом, называются нелинейными. В последние годы они привлекают все большее внимание. Дело в том, что физические уравнения обычно линейны лишь в первом приближении; дальнейшее и более точное исследование, как правило, требует использования нелинейных уравнений. Кроме того, многие задачи нелинейны по своей сути. Так как решения нелинейных уравнений зачастую очень сложны и их трудно представить простыми формулами, значительная часть современной теории посвящена качественному анализу их поведения, т.е. разработке методов, позволяющих, не решая уравнения, сказать нечто существенное о характере решений в целом: например, что все они ограниченны, или имеют периодический характер, или определенным образом зависят от коэффициентов.

Приближенные решения дифференциальных уравнений могут быть найдены в численном виде, но для этого требуется много времени. С появлением быстродействующих компьютеров это время сильно сократилось, что открыло новые возможности численного решения многих, ранее не поддававшихся такому решению, задач.

Теоремы существования. Теоремой существования называется теорема, утверждающая, что при определенных условиях данное дифференциальное уравнение имеет решение. Встречаются дифференциальные уравнения, не имеющие решений или имеющие их больше, чем ожидается. Назначение теоремы существования - убедить нас в том, что у данного уравнения действительно есть решение, а чаще всего заверить, что оно имеет ровно одно решение требуемого типа. Например, уже встречавшееся нам уравнение dy/dx = -2y имеет ровно одно решение, проходящее через каждую точку плоскости (x,y), а так как одно такое решение мы уже нашли, то тем самым полностью решили это уравнение. С другой стороны, уравнение (dy/dx)2 = 1 - y2 имеет много решений. Среди них прямые y = 1, y = -1 и кривые y = sin(x + c). Решение может состоять из нескольких отрезков этих прямых и кривых, переходящих друг в друга в точках касания (рис. 2).

Дифференциальные уравнения в частных производных. Обыкновенное дифференциальное уравнение - это некоторое утверждение о производной неизвестной функции одной переменной. Дифференциальное уравнение в частных производных содержит функцию двух или более переменных и производные от этой функции по крайней мере по двум различных переменным.

В физике примерами таких уравнений являются уравнение Лапласа

где, согласно одной из возможных интерпретаций, u - температура в плоской области, точки которой задаются координатами x и y; уравнение теплопроводности

где t - время, x - расстояние от одного из концов однородного стержня, по которому распространяется тепловой поток; и волновое уравнение

где t - снова время, x и y - координаты точки колеблющейся струны.

Решая дифференциальные уравнения в частных производных, обычно не стремятся найти общее решение, поскольку оно скорее всего окажется слишком общим, чтобы быть полезным. Если решение обыкновенного дифференциального уравнения определяется заданием условий в одной или нескольких точках; то решение дифференциального уравнения в частных производных обычно определяется заданием условий на одной или нескольких кривых. Например, решение уравнения Лапласа может быть найдено в точке (x, y) внутри круга, если значения u заданы в каждой точке ограничивающей окружности. Поскольку проблемы с более чем одной переменной в физике являются скорее правилом, чем исключением, легко представить, сколь обширен предмет теории дифференциальных уравнений в частных производных.

Дифференциальные уравнения

I Дифференциа́льные уравне́ния

уравнения, содержащие искомые функции, их производные различных порядков и независимые переменные. Теория Д. у. возникла в конце 17 в. под влиянием потребностей механики и других естественнонаучных дисциплин, по существу одновременно с интегральным исчислением (См. Интегральное исчисление) и дифференциальным исчислением (См. Дифференциальное исчисление).

Простейшие Д. у. встречались уже в работах И. Ньютона и Г. Лейбница; термин "Д. у." принадлежит Лейбницу. Ньютон при создании исчисления флюксий и флюент (см. Флюксий исчисление) ставил две задачи: по данному соотношению между флюентами определить соотношение между флюксиями; по данному уравнению, содержащему флюксии, найти соотношение между флюентами. С современной точки зрения, первая из этих задач (вычисление по функциям их производных) относится к дифференциальному исчислению, а вторая составляет содержание теории обыкновенных Д. у. Задачу нахождения неопределённого интеграла F (x) функции f (x) Ньютон рассматривал просто как частный случай его второй задачи. Такой подход был для Ньютона как создателя основ математического естествознания вполне оправданным: в очень большом числе случаев законы природы, управляющие теми или иными процессами, выражаются в форме Д. у., а расчёт течения этих процессов сводится к решению Д. у.

Следующие два простых примера могут служить иллюстрацией к сказанному.

1) Если тело, нагретое до температуры Т, помещено в среду, температура которой равна нулю, то при известных условиях можно считать, что приращение ΔТ (отрицательное в случае T > 0) его температуры за малый промежуток времени Δt с достаточной точностью выражается формулой

ΔT = -kTΔt,

где k - постоянный коэффициент. При математической обработке этой физической задачи считают, что выполняется точно соответствующее предельное соотношение между дифференциалами

dT = -kTdt, (1)

т. е. имеет место Д. у.

T' = -kT,

где T' (обозначает производную по t. Решить полученное Д. у., или, как выражаются иначе, проинтегрировать его, значит найти функции, обращающие его в тождество. Для уравнения (1) все такие функции (т. е. все его частные решения) имеют вид

Т = Ce^-kt, (2)

где С постоянно. Сама формула (2) с произвольной постоянной С называется общим решением уравнения (1).

2) Пусть, например, груз р массы m подвешен к пружине и находится в положении равновесия (рис. 1, а). Отклоняя его от положения равновесия с помощью растяжения пружины (рис. 1, б), приводят груз в движение. Если x (t) обозначает величину отклонения тела от положения равновесия в момент времени t, то ускорение тела выражается 2-й производной x'' (t). Сила mх'' (t), действующая на тело, при небольших растяжениях пружины по законам теории упругости пропорциональна отклонению x (t). Т. о., получается Д. у.

mх" (t) = - kx (t). (3)

Его решение имеет вид:

и показывает, что тело будет совершать Гармонические колебания (рис. 1, в).

Теория Д. у. выделилась в самостоятельную детально разработанную научную дисциплину в 18 в. (труды Д. Бернулли, Ж. Д' Аламбера (См. Д'Аламбер) и особенно Л. Эйлера).

Д. у. делятся на "обыкновенные", содержащие производные одной или нескольких функций одного независимого переменного, и "уравнения с частными производными", содержащие частные производные функций нескольких независимых переменных. Порядком Д. у. называется наибольший порядок входящих в него производных. Так, например,

есть Д. у. с частными производными 2-го порядка.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Уравнения 1-го порядка. Обыкновенным Д. у. 1-го порядка с одной неизвестной функцией (только такие пока будут рассматриваться) называется соотношение

F (x, у, у') = 0 (А)

между независимым переменным х, искомой функцией у и её производной

Если уравнение (А) может быть разрешено относительно производной, то получается уравнение вида

y' = f (x, у). (Б)

Многие вопросы теории Д. у. проще рассматривать для таких разрешённых относительно производной уравнений, предполагая функцию f (x, y) однозначной.

Уравнение (Б) можно записать в виде соотношения между дифференциалами

f (x, y) dx - dy = 0,

тогда оно становится частным случаем уравнений вида

Р (х, у) dx + Q (x, у) dy = 0. (В)

В уравнениях вида (В) естественно считать переменные х и у равноправными, т. е. не интересоваться тем, какое из них является независимым.

Геометрическая интерпретация дифференциальных уравнений. Пусть у = у (х) есть решение уравнения (Б). Геометрически это значит, что в прямоугольных координатах касательная к кривой у = у (х) имеет в каждой лежащей на ней точке М (х, у) угловой коэффициент k = f (x, у). Т. о., нахождение решений у = у (х) геометрически сводится к такой задаче: в каждой точке некоторой области на плоскости задано "направление", требуется найти все кривые, которые в любой своей точке М имеют направление, заранее сопоставленное этой точке. Если функция f (x, у) непрерывна, то это направление меняется при перемещении точки М непрерывно, и можно наглядно изобразить поле направлений, проведя в достаточно большом числе достаточно густо расположенных по всей рассматриваемой области точек короткие чёрточки с заданным для этих точек направлением. На рис. 2 это выполнено для уравнения у' = у². Рисунок позволяет сразу представить себе, как должны выглядеть графики решения - так называемые интегральные кривые Д. у. Вычисление показывает, что общее решение данного уравнения есть

На рис. 2 вычерчены интегральные кривые, соответствующие значениям параметра С = 0 и С = 1.

График любой однозначной функции у = у (х) пересекает каждую прямую, параллельную оси Оу, только один раз. Таковы, следовательно, интегральные кривые любого уравнения (Б) с однозначной непрерывной функцией в правой части. Новые возможности для вида интегральных кривых открываются при переходе к уравнениям (В). При помощи пары непрерывных функций Р (х, у) и Q (x, у) можно задать любое непрерывное "поле направлений". Задача интегрирования уравнений (В) совпадает с чисто геометрической (не зависящей от выбора осей координат) задачей разыскания интегральных кривых по заданному на плоскости полю направлений. Следует заметить, что тем точкам (x₀, у₀), в которых обе функции Р (х, у) и Q (x, у) обращаются в нуль, не соответствует какое-либо определённое направление. Такие точки называются особыми точками уравнения (В).

Пусть, например, задано уравнение

ydx + xdy = 0,

которое можно записать в виде

хотя, строго говоря, правая часть этого последнего уравнения теряет смысл при х = 0 и у = 0. Соответствующие поле направлений и семейство интегральных кривых, являющихся в этом случае окружностями х² + у² = С, изображены на рис. 3. Начало координат (х = 0, у = 0) - особая точка данного уравнения. Интегральными кривыми уравнения

ydx - xdy = 0,

изображёнными на рис. 4, являются всевозможные прямолинейные лучи, выходящие из начала координат; начало координат является особой точкой и этого уравнения.

Начальные условия. Геометрическая интерпретация Д. у. 1-го порядка приводит к мысли, что через каждую внутреннюю точку М области G с заданным непрерывным полем направлений можно провести одну вполне определённую интегральную кривую.

В отношении существования интегральной кривой сформулированная гипотеза оказывается правильной. Доказательство этого предложения принадлежит Дж. Пеано. В отношении же единственности интегральной кривой, проходящей через заданную точку, высказанная выше гипотеза оказывается, вообще говоря, ошибочной. Уже для такого простого уравнения, как

у которого правая часть непрерывна во всей плоскости, интегральные кривые имеют вид, изображённый на рис. 5. Единственность интегральной кривой, проходящей через заданную точку, нарушается здесь во всех точках оси Ox.

Единственность, т. е. однозначное определение интегральной кривой условием её прохождения через заданную точку, имеет место для уравнений (Б) с непрерывной правой частью при том дополнительном условии, что функция f (х, у) имеет в рассматриваемой области ограниченную производную по у.

Это требование является частным случаем следующего, несколько более широкого условия Липшица: существует такая постоянная L, что в рассматриваемой области всегда

|f (x, y₁) - f (x, y₂)| < L |у₁ - у₂|.

Это условие чаще всего приводится в учебниках как достаточное условие единственности.

С аналитической стороны теоремы существования и единственности для уравнения вида (Б) обозначают следующее: если выполнены надлежащие условия [например, функция f (x, y) непрерывна и имеет ограниченную производную по у], то задание для "начального" значения x₀ независимого переменного х "начального" значения у₀ = у (x₀) функции у (х) выделяет из семейства всех решений у (х) одно определённое решение. Например, если для рассмотренного выше уравнения (1) потребовать, чтобы в начальный момент времени t₀ = 0 температура тела была равна "начальному" значению Т₀, то из бесконечного семейства решений (2) выделится одно определённое решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

T (t) = T₀e^-kt.

Этот пример типичен: в механике и физике Д. у. обычно определяют общие законы течения какого-либо явления; однако, чтобы получить из этих законов определённые количественные результаты, надо присоединить к ним сведения о начальном состоянии изучаемой физической системы в некоторый определённый выбранный в качестве "начального" момент времени t₀.

Если условия единственности выполнены, то решение y (x), удовлетворяющее условию у (x₀) = у₀, можно записать в виде:

y (x) = φ(x; х₀, у₀), (5)

где x₀ и у₀ входят как параметры, функция же φ (х; x₀, y₀) трёх переменных х, x₀ и y₀ однозначно определяется самим уравнением (Б). Важно отметить, что при достаточно малом изменении поля (правой части Д. у.) функция φ(х; x₀, у₀) меняется сколь угодно мало на конечном промежутке изменения переменного х - имеется непрерывная зависимость решения от правой части Д. у. Если правая часть f (x, у) Д. у. непрерывна и её производная по у ограничена (или удовлетворяет условию Липшица), то имеет место также непрерывность φ(х; х₀, у₀) по x₀ и y₀.

Если в окрестности точки (х₀, у₀) для уравнения (Б) выполнены условия единственности, то все интегральные кривые, проходящие через достаточно малую окрестность точки (x₀, у₀), пересекают вертикальную прямую х = х₀ и определяются ординатой у = С своей точки пересечения с этой прямой (см. рис. 6). Т. о., все эти решения содержатся в семействе с одним параметром С:

y (x) = F (x, C),

которое является общим решением Д. у. (Б).

В окрестности точек, в которых нарушаются условия единственности, картина может быть сложнее. Весьма сложен и вопрос о поведении интегральных кривых "в целом", а не в окрестности точки (x₀, у₀).

Общий интеграл. Особые решения. Естественно поставить обратную задачу: задано семейство кривых, зависящих от параметра С, требуется найти Д. у., для которого кривые заданного семейства служили бы интегральными кривыми. Общий метод для решения этой задачи заключается в следующем: считая семейство кривых на плоскости хОу заданным при помощи соотношения

F (x, y, C) = 0, (6)

дифференцируют (6) при постоянном С и получают

или в симметричной записи

и из двух уравнений (6) и (7) или (6) и (8) исключают параметр С. Если данное Д. у. получается таким образом из соотношения (6), то это соотношение называется общим интегралом заданного Д. у. Одно и то же Д. у. может иметь много различных общих интегралов. После нахождения для заданного Д. у. общего интеграла оказывается необходимым, вообще говоря, ещё исследовать, не имеет ли Д. у. дополнительных решений, не содержащихся в семействе интегральных кривых (6).

Пусть, например, задано семейство кривых

(х -С)³ - у = 0. (9)

Дифференцируя (9) при постоянном С получают

3(х - С)² - у' = 0,

после же исключения С приходят к Д. у.

27y² - (y ')³ = 0, (10)

равносильному уравнению (4). Легко видеть, что кроме решений (9), уравнение (10) имеет решение

y ≡ 0. (11)

Решение уравнения (10) самого общего вида таково:

где -∞ ≤ C₁ ≤ C₂ ≤ +∞ (рис. 7). Оно зависит от двух параметров C₁ и C₂, но составляется из кусков кривых однопараметрического семейства (9) и куска особого решения (11).

Решение (11) уравнения (10) может служить примером особого решения Д. у. В качестве другого примера можно рассмотреть семейство прямых

4(у - Cx) + C²= 0. (12)

Эти прямые являются интегральными кривыми Д. у.

4(у - ху') + (у')² = 0.

Особой же интегральной кривой этого Д. у. служит парабола

х² - у = 0,

огибающая прямые (12) (рис. 8). Картина, наблюдавшаяся в рассмотренном примере, типична; особые интегральные кривые обычно являются огибающими семейства интегральных кривых, получаемых из общего решения.

Дифференциальные уравнения высших порядков и системы дифференциальных уравнений. Д. у. n-го порядка с одной неизвестной функцией у (х) независимого переменного х записывают так:

F (х, у, y', у", ..., y^(n-1), y⁽ⁿ⁾) = 0. (13)

Если ввести дополнительные неизвестные функции

y₁ = y', y₂ = y", ..., y_n-1 = y ^(n-1), (14)

то уравнение (13) можно заменить системой из n уравнений с n неизвестными функциями, но зато 1-го порядка. Для этого достаточно к n - 1 уравнениям (14) присоединить уравнение

F (x, у, y₁, у₂, ..., y_n-1, y'_n-1) = 0.

Аналогичным образом сводятся к системам уравнений 1-го порядка и системы уравнений высших порядков. В механике сведение систем уравнений 2-го порядка к системе из удвоенного числа уравнений 1-го порядка имеет простой механический смысл. Например, система трёх уравнений движения материальной точки

mx" = p (x, y, z), my" = Q (x, у, z),

mz" = R (x, у, z),

где х, у, z - координаты точки, зависящие от времени t, сводится к системе шести уравнений:

mu' = р (х, у, z), mv' = Q (x, у, z),

nw' = R (x, у, z), u = х', v = y', w = z'

при помощи введения в качестве новых переменных составляющих u, v, w скорости.

Наибольшее значение имеют системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных функций. Система из n уравнений 1-го порядка с n неизвестными функциями, разрешённая относительно производных, имеет вид:

Решением системы Д. у. (а) называется система функций x₁(t), x₂(t), ..., x_n(t), которая при подстановке в уравнения (а) обращает их в тождества. Часто встречаются системы вида (а), в которых правые части не зависят от t. В этом случае изучение системы (а) в основном сводится к изучению системы из (n - 1)-го уравнения, которую целесообразно записывать в симметричной форме

не предрешая вопроса о том, от какого из переменных х₁, x₂,..., x_n мыслятся зависящими остающиеся n - 1 переменных. Считая х = (x₁, x₂,..., x_n) вектором, можно записать систему (а) в виде одного векторного уравнения:

что позволяет широко пользоваться при изучении систем (а) аналогией с теорией одного уравнения 1-го порядка вида (Б). В частности, оказывается, что для систем (а) сохраняют силу основные результаты относительно существования и единственности решения задачи с начальными условиями: если в окрестности точки (t₀, х₁⁰, x₂⁰, ..., x_n⁰) все функции F_i непрерывны по совокупности переменных t, x₁, x₂, ..., x_n и имеют ограниченные производные по переменным x₁, x₂, ..., x_n, то задание начальных значений x_i (t₀) = x_i⁰, i = 1, 2, ..., n, определяет одно, вполне определённое, решение системы (а). Этим объясняется то, что, вообще говоря, решение систем из n уравнений 1-го порядка с n неизвестными функциями зависит от n параметров.

Для приведённых выше конкретных примеров Д. у. их общее решение удаётся выразить при помощи элементарных функций. Типы Д. у., допускающие такого рода решение, детально изучаются. Часто придерживаются более общей точки зрения, считая Д. у. "решённым", если искомая зависимость между переменными (и входящими в общее решение параметрами c₁, c₂, ...) может быть выражена при помощи элементарных функций и одной или нескольких операций взятия неопределённого интеграла ("решение выражено в квадратурах").

Большой общностью обладают способы нахождения решений при помощи разложения их в степенные ряды. Например, если правые части уравнений (а) в окрестности точки (t₀, x₁⁰, x₂⁰, ..., x_n⁰) голоморфны (см. Аналитические функции), то решение соответствующей начальной задачи выражается функциями x_i (t), разлагающимися в степенные ряды:

коэффициенты которых можно найти последовательным дифференцированием правых частей Д. у. (а) и сопоставлением коэффициентов при одинаковых степенях в левых и правых частях этих уравнений.

Из специальных типов Д. у. особенно хорошо разработана теория линейных Д. у. и систем линейных Д. у. (см. Линейные дифференциальные уравнения).

Для линейных Д. у. сравнительно просто решаются также вопросы "качественного" поведения интегральных кривых, т. е. их поведение во всей области задания Д. у. Для нелинейных Д. у., где нахождение общего решения особенно сложно, вопросы качественной теории Д. у. приобретают иногда даже доминирующее значение. После классических работ А. М. Ляпунова ведущую роль в качественной теории Д. у. играют работы советских математиков, механиков и физиков. В связи с этой теорией см. Динамическая система, Особая точка, Устойчивость, Предельный цикл.

Большое значение имеет аналитическая теория Д. у., изучающая решения Д. у. с точки зрения теории аналитических функций, т. е. интересующаяся, например, расположением их особых точек в комплексной плоскости и т.п.

Наряду с рассмотренной выше начальной задачей, в которой задаются значения искомых функций (а в случае уравнений старших порядков и их производных) в одной точке (при одном значении независимого переменного), находят широкое применение Краевые задачи.

Дифференциальные уравнения с частными производными. Типичной особенностью Д. у. с частными производными и систем Д. у. с частными производными является то, что для однозначного определения частного решения здесь требуется задание не значений того или иного конечного числа параметров, а некоторых функций. Например, общим решением уравнения

является выражение

u (t, x) = f (x + t) + g (x - t),

где f и g - произвольные функции. Т. о., Д. у. (16) лишь в той мере ограничивает произвол в выборе функции двух переменных u (х, у), что её удаётся выразить через две функции f (z) и g (v) от одного переменного, которые остаются [если в дополнение к уравнению (16) не дано каких-либо "начальных" или "краевых" условий] произвольными.

Типичной задачей с начальными условиями для системы Д. у. с частными производными 1-го порядка

где независимыми переменными являются t, x₁,..., x_n, а u₁,..., u_m суть функция от этих независимых переменных, может служить задача Коши: по заданным при каком-либо t = t₀ значениям

u_i(t₀, x₁,..., x_n) = φ_i(x₁,..., x_n),

i = 1, 2, ..., m,

найти функции u_i(t, x₁, ..., x_n).

В теории Д. у. с частными производными порядка выше первого и систем Д. у. с частными производными рассматриваются как задачи типа Коши, так и ряд краевых задач.

При постановке и решении краевых задач для Д. у. с частными производными порядка выше первого существенное значение имеет тип уравнения. В качестве примера можно привести классификацию Д. у. с частными производными 2-го порядка с одной неизвестной функцией z (х, у) от двух переменных:

F (x, у, z, р, q, r, s, t) = 0, (18)

где

Если

то (18) есть эллиптическое уравнение. Примером может служить уравнение Лапласа:

Если D < 0, то (18) есть гиперболическое уравнение. Примером может служить уравнение колебания струны:

Если D = 0, то (18) есть параболическое уравнение. Примером может служить уравнение распространения тепла:

О краевых задачах для этих различных типов уравнений см. Уравнения математической физики.

Лит.: Обыкновенные Д. у. Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959; Петровский И. Г., Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, 5 изд., М., 1964; Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2 изд., М., 1965; Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, пер. с нем., 3 изд., М., 1965; Филиппов А. Ф., Сборник задач по дифференциальным уравнениям, 2 изд., М., 1965.

Д. у. с частными производными. Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными производными, 3 изд., М., 1961; Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966; Соболев С. Л., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1966; Смирнов М. М., Задачи по уравнениям математической физики, 5 изд., М., 1968.

По материалам одноимённой статьи из 2-го издания БСЭ.

Рис. 1 к ст. Дифференциальные уравнения.

Рис. 2 к ст. Дифференциальные уравнения.

Рис. 3 к ст. Дифференциальные уравнения.

Рис. 4 к ст. Дифференциальные уравнения.

Рис. 5 к ст. Дифференциальные уравнения.

Рис. 6 к ст. Дифференциальные уравнения.

Рис. 7 к ст. Дифференциальные уравнения.

Рис. 8 к ст. Дифференциальные уравнения.

II Дифференциа́льные уравне́ния ("Дифференциа́льные уравне́ния",)

ежемесячный научный математический журнал, основан в 1965, издаётся в Минске. Публикует результаты исследований в области дифференциальных, интегро-дифференциальных и интегральных уравнений, а также уравнений в конечных разностях. Переводится в США на английский язык и издается под названием "Differential equations".

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ

уравнение, связывающее искомую функцию, ее производные (или дифференциалы) и независимые переменные, напр. dy = 2xdx. Решением или интегралом дифференциального уравнения называется функция, при подстановке которой в дифференциальное уравнение последнее обращается в тождество; в приведенном примере решением является всякая функция вида y = x2 + C, где С - любая постоянная. Процесс решения дифференциального уравнения называется его интегрированием. При помощи дифференциального уравнения записываются многие реальные процессы, поэтому дифференциальные уравнения имеют исключительно важное значение для естествознания и техники.

Wikipedia

Дифференциальное уравнение

Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, которое помимо функции содержит её производные. Порядок входящих в уравнение производных может быть различен (формально он ничем не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или отсутствовать вовсе, кроме хотя бы одной производной. Не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным. Например, $f'\left(x\right)=f\left(f\left(x\right)\right)$ не является дифференциальным уравнением.

Дифференциальные уравнения являются частным случаем функциональных уравнений. В отличие от алгебраических уравнений, в результате решения которых ищется число (несколько чисел), при решении дифференциальных уравнений ищется функция (семейство функций).

Дифференциальное уравнение порядка выше первого можно преобразовать в систему уравнений первого порядка, в которой число уравнений равно порядку исходного дифференциального уравнения.

Современные быстродействующие ЭВМ эффективно дают численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений, не требуя получения его решения в аналитическом виде. Это позволяет некоторым исследователям утверждать, что решение задачи получено, если её удалось свести к решению обыкновенного дифференциального уравнения.

Обобщением понятия дифференциального уравнения на случай бесконечного множества переменных является уравнение в функциональных производных.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Дифференциальное уравнение

Examples of use of ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1. Даже сложные дифференциальные уравнения. * * * Прыгают два парашютиста.

2. Юрий Петрович, расскажите, что такое дифференциальные уравнения и как они связаны с техногенными катастрофами.

3. Чтобы решать дифференциальные уравнения и искать место неандертальца на генеалогическом древе человечества, надо много учиться.

4. Однако для этого использовались и используются дифференциальные уравнения, в которые можно ввести лишь самые общие характеристики структуры населения и заболеваемости.

5. Конечно, человек, который знает теорию функций комплексного переменного или дифференциальные уравнения, конечно, по сообразительности, интеллекту может много.

What is ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ - meaning and definition